Geometry And Topology

New PDF release: Algebraic topology - old and new: M.M.Postnikov memorial

By Golasinski M., et al. (eds.)

ISBN-10: 8386806044

ISBN-13: 9788386806041

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3 Kapitel 3. Die Quotiententopologie Eigenschaften von Quotientenräumen Welche Eigenschaften von X übertragen sich auf X / ~ ? Zusammenhang und Kompaktheit verhalten sich bestens, denn Notiz: Ist X (weg-)zusaninienhängend X / ~ als stetiges Bild von X. bzw. kompakt, dann auch Anders steht es mit der dritten der drei topologischen Eigenschaften, von denen im Kapitel 1 die Rede war: Ein Quotientenraum eines HausdorfFraumes ist im allgemeinen kein Hausdorffraum mehr. Ein trivialer Grund dafür liegt vor, wenn die ÄquiValenzklassen nicht alle abgeschlossen sind: Notiz: Eine notwendige Bedingung für die Hausdorff-Eigenschaft eines Quotientenraumes X /^ ist die Abgeschlossenheit aller Aquivalenzklassen in X, denn wäre y ^ [x] ein Randpunkt von [x], so könnte man [x] und [y] in X /^ nicht durch disjunkte Umgebungen trennen, oder, vielleicht eleganter gesagt: Die Abgeschlossenheit der Aquivalenzklassen bedeutet die Abgeschlossenheit der Punkte in X1^ , und in einem HausdorfFraum sind die Punkte natürlich abgeschlossen.

Hnlich kann man aber auch auf vielfältige Weise einen Raum X in sich selbst verkleben, indem man nach Vorschrift gewisser Abbildimgen gewisse Punkte von X mit gewissen anderen "identifiziert", also eine Aquivalenzrelation einführt, und zu X /^ übergeht. Speziell für die nächsten beiden Beispiele wollen wir einmal folgende Notation einführen: Schreibweise: Sei X ein topologischer Raum und a : X -^ X ein Homöomorphismus. Dann bezeichne X x [0, l ] / a den Quotientenraum von X X [0,1] nach der durch (a;,0) ^ (oi{x)^ 1) gegebenen Aquivalenzrelation, was wieder heißen soll, daß alle übrigen Punkte (x^t), 0 < ^ < 1, nur zu sich selbst äquivalent sind.

U Ux^. D BEWEIS: B e m e r k u n g 2: Abgeschlossene sind kompakt. 8 Kompaktheit B E W E I S : Sei X kompakt, A C X abgeschlossen, {J7A}A6A eine offene Überdeckung von A. Nach Definition der Teilraumtopologie gibt es also eine Familie {VA}A€A in X offener Mengen mit Ux = A f] Vx. Da mm A abgeschlossen ist, ist die Überdeckung {Xx-A, {VA}A€A} von X offen^ also gibt es A i , . . , A r € A mit ( X \ A ) U VA, U . . U V A . h. UUx^=A, D B e m e r k u n g 3: Zwei nichtleere Räume X und Y sind genau dann beide kompakt, wenn ihre Summe und auch genau dann, wenn ihr Produkt kompakt ist.

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by Thomas
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